Question

17．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2sin²x．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角余弦公式及变形，两角差的正弦公式化简解析式，由三角函数的周期公式求出f（x）的最小正周期，由正弦函数的增区间求出f（x）的增区间；
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]求出2x-$\frac{π}{6}$的范围，由正弦函数的图象与性质求出函数f（x）的值域．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2sin²x
=$\sqrt{3}$sin2x+1-cos2x=$2sin（2x-\frac{π}{6}）+1$，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，
$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）单调增区间是$[-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ]（k∈Z）$；
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]得，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴$sin（2x-\frac{π}{6}）∈[-\frac{1}{2}，1]$，则$2sin（2x-\frac{π}{6}）+1∈[0，3]$，
∴函数f（x）的值域是[0，3]．

点评 本题考查了二倍角余弦公式及变形，两角差的正弦公式，以及正弦函数的图象与性质，考查整体思想，化简、变形能力．