Question

9．定义在R上的偶函数y=f（x），对任意的x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3），且函数f（x）在[0，3]上为减函数，则下列结论中错误的是（　　）

• A． f（x）≥0
• B． f（1）＞f（14）
• C． y=f（x）的解析式可能为y=2cos²$\frac{π}{6}$x
• D． 若x²+y²=9与y=f（x）有且仅有三个交点，则在[0，3]上将y=f（x）的图象沿y轴旋转一周得到的几何体的体积为9π

Answer 1

分析 根据抽象函数关系结合函数奇偶性的性质求出f（3）=0，从而得到函数的周期是6，结合三角函数的周期性分别进行判断即可．

解答 解：∵f（x+6）=f（x）+f（3），
∴f（-3+6）=f（-3）+f（3），
∴f（-3）=0，函数f（x）是偶函数，
∴f（3）=0．
∴f（x+6）=f（x）+0=f（x），
∴f（x）是以6为周期的函数，
∵函数f（x）在[0，3]上为减函数，∴函数f（x）在[-3，0]上为增函数，
∵f（3）=0．∴当0≤x≤3时，f（x）≥0，
综上恒有f（x）≥0，故A正确，
B．f（14）=f（12+2）=f（2），
∵函数f（x）在[0，3]上为减函数，∴f（1）＞f（2），
即f（1）＞f（14），故B正确，
C．f（x）=2cos²$\frac{πx}{6}$=1+cos$\frac{πx}{3}$，则函数的周期是T=$\frac{2π}{\frac{1}{3}π}$=6，
f（3）=1+cosπ=1-1=0，当0≤x≤3时，0≤$\frac{πx}{3}$≤π，函数f（x）为减函数，满足条件．故C正确，
D．若x²+y²=9与y=f（x）有且仅有三个交点，则f（0）=3，
且f（x）在圆的内部，在[0，3]上将y=f（x）的图象沿y轴旋转一周得到的几何体不确定，无法求出对应的条件，故D错误，
故选：D

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及抽象函数的应用，利用赋值法判断函数的周期性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．