Question

如图，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点．
（1）求证：BM∥平面PAD；
（2）在侧面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD，并求直线PC与平面PBD所成角的
正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）取PD的中点E，连接EM，EA，根据三角形中位线定理可得，四边形ABME为平行四边形，所以BM∥AE，由线面平行的判定定理，即可得到BM∥平面PAD；
（2）以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出直线PC的方向向量及平面PBD的法向量，然后代入向量夹角公式，即可求出直线PC与平面PBD所成角的正弦值．
解答：证明：（1）取PD的中点E，连接EM，EA，则EM∥AB，且EM=AB
所以四边形ABME为平行四边形，所以BM∥AE
又AE?平面PAD，BM不在平面PAD内，∴BM∥平面PAD；
解：（2）以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系
则B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），M（1，1，1），E（0，1，1）
假设存在满足题意的点，则在平面PAD内，设N（0，y，z），得，
所以，即N是AE的中点，此时MN⊥平面PBD，
设直线PC与平面PBD所成的角为θ，
易得
设与的夹角为α，则，
故直线PC与平面PBD所成角的正弦值为
点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定，（1）的关键是找到BM∥AE，（2）的关键是建立适当的空间坐标系，将线面夹角问题转化为向量夹角问题．