Question

如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2

2

，设PC与AD的夹角为θ．
（1）求点A到平面PBD的距离；
（2）求θ的大小；当平面ABCD内有一个动点Q始终满足PQ与AD的夹角为θ，求动点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，进而可求面PBD的一个法向量，利用点A到平面PBD的距离公式求解；
（2）根据cosθ=

| PC • AD |

| PC |•| AD |

，故先求相应的向量，从而可求异面直线PC与AD所成角．要使平面ABCD内有一个动点Q始终满足PQ与AD的夹角为θ，故由cos60°=

AD • PQ

| AD |•| PQ |

=

|y|

x2+y2+4

=

1

2

从而可得轨迹方程．

解答：解：（1）以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系

PD

=(0，1，-2)，

PB

=(2

2

，0，-2)，设面PBD的法向量为

n

=(x，y，z)，则

PD

•

n

=0，

PB

•

n

=0，得面PBD的一个法向量为

n

=(1，2

2

，

2

)，
所以点A到平面PBD的距离d=

AP • n

n

=

2

11

22

…（7分）
（2）P（0，0，2）、C（2

2

，2，0），则有

PC

=（2

2

，2，-2），又

AD

=（0，1，0）
则异面直线PC与AD所成角θ满足cosθ=

| PC • AD |

| PC |•| AD |

=

1

2

，
所以，异面直线PC与AD所成角的大小为60°
设Q（x，y，0），则

AD

=(0，1，0)，

PQ

=(x，y，-2)
∴cos60°=

AD • PQ

| AD |•| PQ |

=

|y|

x2+y2+4

=

1

2

化解得3y²-x²=4…（14分）

点评：本题以四棱锥为载体，考查点面距离，考查线线角，考查轨迹问题，关键是建立空间直角坐标系．