Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=

2

，且侧面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求证：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一点E，使得二面角E-BD-A的大小为45°，若存在，试求

AE

AP

的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）证明PH⊥平面ABCD，以H为原点，建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，利用向量的数量积为0，即可证得结论；
（2）假设在棱PA上存在一点E，不妨设

AE

=λ

AP

（0＜λ＜1），求得平面EBD的一个法向量、面ABD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．

解答：（1）证明：取AB中点H，则由PA=PB，得PH⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PH⊥平面ABCD．以H为原点，建立空间直角坐标系H-xyz（如图）．则A(1，0，0)，B(-1，0，0)，D(1，

2

，0)，C(-1，

2

，0)，P(0，0，

3

)…．．（2分）
∵

PD

=(1，

2

，-

3

)，

AC

=(-2，

2

，0)，…．．（4分）
∴

PD

•

AC

=(1，

2

，-

3

)•(-2，

2

，0)=0，
∴

PD

⊥

AC

，即PD⊥AC．         …．．（6分）
（2）解：假设在棱PA上存在一点E，不妨设

AE

=λ

AP

（0＜λ＜1），
则点E的坐标为(1-λ，0，

3

λ)，…．．（8分）
∴

BE

=(2-λ，0，

3

λ)，

BD

=(2，

2

，0)
设

n

=(x，y，z)是平面EBD的法向量，则

n ⊥ BE n ⊥ BD

，

n • BE =0 n • BD =0

∴

(2-λ)x+0•y+ 3 λz=0 2x+ 2  y+0•z=0

∴

z=- 2-λ 3 λ x y=- 2 x

，
不妨取x=

3

，则得到平面EBD的一个法向量

n

=(

3

，-

6

，-

2-λ

λ

)．  …．．（10分）
又面ABD的法向量可以是

HP

=（0，0，

3

），
要使二面角E-BD-A的大小等于45°，
则cos45°=|cos＜

HP

，

n

＞|=|

HP • n

| HP |•| n |

|=

|( 3 ，- 6 ，- 2-λ λ )(0，0， 3 )|

|( 3 ，- 6 ，- 2-λ λ )|•|(0，0， 3 )|

可解得λ=

1

2

，即

AE

=

1

2

AP

故在棱PA上存在点E，当

AE

AP

=

1

2

时，使得二面角E-BD-A的大小等于45°．…．．（12分）

点评：本题考查线线垂直，考查面面角，考查利用向量法解决立体几何的能力，属于中档题．