题目内容
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=| 3 |
（Ⅰ）若E为BC中点，证明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC边上任一点，证明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
| ||
| 3 |
分析：（Ⅰ）要证EF∥平面PAC，证明EF∥CP即可．
（Ⅱ）要证PE⊥AF，证明AF⊥平面PBC即可．通过PB⊥AF，BC⊥AF可以证出AF⊥平面PBC
（Ⅲ）分别以直线AD、DB、DP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量方法，求出平面PDE的一个法向量，则直线PA与平面PDE所成角的正弦值等于
与此法向量夹角的余弦绝对值．
（Ⅱ）要证PE⊥AF，证明AF⊥平面PBC即可．通过PB⊥AF，BC⊥AF可以证出AF⊥平面PBC
（Ⅲ）分别以直线AD、DB、DP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量方法，求出平面PDE的一个法向量，则直线PA与平面PDE所成角的正弦值等于
| AP |
解答：（Ⅰ）证明：E为BC中点，F是PB中点，∴EF∥CP，CP?平面PAC，EF?平面PAC，∴EF∥平面PAC；
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，AF?平面PAB，∴BC⊥AF，
又PA=AB，F是PB中点，∴PB⊥AF，PB∩BC=B，∴AF⊥平面PBC，PE?平面PBC，∴PE⊥AF．
（III）分别以直线AD、DB、DP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系
P（0，0，1）D（
，0，0）B（0，1，0），E（
，1，0）
=（
，0，-1）
=（-
，1，0）
设平面PDE的一个法向量为
=（x，y，z）
由
得
令x=1得平面PDE和一个法向量
=（1，
，
），|
|=
又
=（0，0，1）AP与平面PDE所成角为θ
所以sinθ=
=
=
PA与平面PDE所成角正弦值为
．
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，AF?平面PAB，∴BC⊥AF，
又PA=AB，F是PB中点，∴PB⊥AF，PB∩BC=B，∴AF⊥平面PBC，PE?平面PBC，∴PE⊥AF．
（III）分别以直线AD、DB、DP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系
P（0，0，1）D（
| 3 |
| ||
| 3 |
| PD |
| 3 |
| DE |
2
| ||
| 3 |
设平面PDE的一个法向量为
| n |
由
|
|
令x=1得平面PDE和一个法向量
| n |
2
| ||
| 3 |
| 3 |
| n |
4
| ||
| 3 |
又
| AP |
所以sinθ=
| ||||
|
|
| ||||
|
| 3 |
| 4 |
PA与平面PDE所成角正弦值为
| 3 |
| 4 |
点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判定，线面角求解．考查空间想象能力、推理论证、转化计算能力．
练习册系列答案
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