题目内容

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,AD=
3
,点F是PB中点.
(Ⅰ)若E为BC中点,证明:EF∥平面PAC;
(Ⅱ)若E是BC边上任一点,证明:PE⊥AF;
(Ⅲ)若BE=
3
3
,求直线PA与平面PDE所成角的正弦值.
分析:(Ⅰ)要证EF∥平面PAC,证明EF∥CP即可.
(Ⅱ)要证PE⊥AF,证明AF⊥平面PBC即可.通过PB⊥AF,BC⊥AF可以证出AF⊥平面PBC
(Ⅲ)分别以直线AD、DB、DP为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,利用向量方法,求出平面PDE的一个法向量,则直线PA与平面PDE所成角的正弦值等于
AP
与此法向量夹角的余弦绝对值.
解答:(Ⅰ)证明:E为BC中点,F是PB中点,∴EF∥CP,CP?平面PAC,EF?平面PAC,∴EF∥平面PAC;
(Ⅱ)∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BC,又AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,AF?平面PAB,∴BC⊥AF,
又PA=AB,F是PB中点,∴PB⊥AF,PB∩BC=B,∴AF⊥平面PBC,PE?平面PBC,∴PE⊥AF.
(III)分别以直线AD、DB、DP为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系
P(0,0,1)D(
3
,0,0)B(0,1,0),E(
3
3
,1,0)
PD
=(
3
,0,-1)
DE
=(-
2
3
3
,1,0)
设平面PDE的一个法向量为
n
=(x,y,z)
n
PD
=0
n
DE
=0
3
x-z=0
-
2
3
3
x+y=0

令x=1得平面PDE和一个法向量
n
=(1,
2
3
3
3
),|
n
|=
4
3
3

AP
=(0,0,1)AP与平面PDE所成角为θ
所以sinθ=
|AP
n
|
|
AP
|| 
n
|
=
 
3
4
3
3
=
3
4

PA与平面PDE所成角正弦值为
3
4
点评:本题考查空间直线、平面位置关系的判定,线面角求解.考查空间想象能力、推理论证、转化计算能力.
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