Question

10．函数f（x）=a^x-x³（a＞0，且a≠1）恰好有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． 1＜a＜e${\;}^{\frac{3}{e}}$
• B． 1＜a＜e${\;}^{\frac{2}{e}}$
• C． 0＜a＜e${\;}^{\frac{3}{e}}$
• D． e${\;}^{\frac{2}{e}}$＜a＜e${\;}^{\frac{3}{e}}$

Answer 1

分析 原题意等价于方程a^x=x³恰有两个不同的解．分类讨论结合函数思想求解
当0＜a＜1时，y=a^x与y=x³的图象只有一个交点，不符合题意．
当a＞1时，y=a^x与y=x³的图象在x∈（-∞，0）上没有交点，所以只考虑x＞0，
于是可两边同取自然对数，得xlna=3lnx，即lna=$\frac{3lnx}{x}$，构造函数g（x）=$\frac{3lnx}{x}$，求解$g'（x）=\frac{3-3lnx}{x^2}$，
利用导数求解即可．

解答 解：∵f（x）=a^x-x³（a＞0，且a≠1）恰好有两个不同的零点
∴等价于方程a^x=x³恰有两个不同的解．
当0＜a＜1时，y=a^x与y=x³的图象只有一个交点，
不符合题意．
当a＞1时，y=a^x与y=x³的图象在x∈（-∞，0）上没有交点，所以只考虑x＞0，
于是可两边同取自然对数，得xlna=3lnx，即lna=$\frac{3lnx}{x}$，
令g（x）=$\frac{3lnx}{x}$，则$g'（x）=\frac{3-3lnx}{x^2}$，
当x∈（0，e）时，g（x）单调递增，
当x＜1时，当g（x）＜0，

x∈（e，+∞）时，g（x）单减且g（x）＞0．
∴要有两个交点，0＜lna＜g（e）=$\frac{3}{e}$，即1＜a＜${e^{\frac{3}{e}}}$．
故选：A

点评 本题考察了运用函数的性质解决参变量的范围问题，分类讨论，分离参数，构造函数运用导数求解，属于中档题．