Question

19．如图，正方形ABCD的边长为2$\sqrt{2}$，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，且FO⊥平面ABCD，FO=$\sqrt{3}$．
（1）求BF与平面ABCD所成的角的正切值；
（2）求证：FC∥平面ADE；
（3）求三棱锥O-ADE的体积．

Answer 1

分析 （1）证明∠FBO即为BF与平面ABCD所成的角，即可求BF与平面ABCD所成的角的正切值；
（2）证明平面BCF∥平面ADE，再证明：FC∥平面ADE；
（3）利用V_O-ADE=V_E-ADO，求三棱锥O-ADE的体积．

解答 （1）解：连接BO，因为正方形ABCD的边长为$2\sqrt{2}$，所以BD⊥AC，且DB=AC=4，
又O为GC的中点，所以GO=1，GB=2，BO=$\sqrt{5}$…（2分）
又FO⊥平面ABCD，且$FO=\sqrt{3}$，所以∠FBO即为BF与平面ABCD所成的角
所以，tan∠FBO=$\frac{FO}{BO}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$…（4分）
（2）证明：由正方形ABCD知BC∥AD，所以BC∥平面ADE，
又由平行四边形BDEF知 BF∥DE，所以BF∥平面ADE，…（6分）
因为BC∩BF=B，所以平面BCF∥平面ADE，
而FC?平面BCF，所以FC∥平面ADE．---------------------（8分）
（3）解：由上知，AO=3，所以S_△ADO=$\frac{1}{2}•AO•DG$=$\frac{1}{2}•3•2$=3----------（9分）
又BDEF是平行四边形，且FO⊥平面ABCD，$FO=\sqrt{3}$，所以三棱锥E-ADO的高为$\sqrt{3}$
所以V_O-ADE=V_E-ADO=$\frac{1}{3}•3•\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$-------（12分）

点评 本题考查线面角，考查线面平行的判定，考查等体积法求三棱锥的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．