Question

17．（1）已知3^a=5^b=c，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=2，求c的值．
（2）若2^x=3^y，且x，y都是正数，判断2x，3y的大小关系．

Answer 1

分析 （1）使用指对互化公式得出a，b，利用对数的换底公式得出$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，列出方程解出c．
（2）设2^x=3^y=m，则利用对数的运算性质比较$\frac{1}{2x}$，$\frac{1}{3y}$的大小，从而得出答案．

解答 解：（1）∵3^a=5^b=c，∴a=log₃c，b=log₅c．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=log_c3+log_c5=log_c15=2．
∴c²=15，即c=$\sqrt{15}$．
（2）令2^x=3^y=m，则x=log₂m，y=log₃m．∴2x=log${\;}_{\sqrt{2}}$m，3y=log${\;}_{\root{3}{3}}$m，
$\frac{1}{2x}$=log_m$\sqrt{2}$，$\frac{1}{3y}$=log_m$\root{3}{3}$．
∵x，y都是正数，∴m=2^x=3^y＞1．
∴y=log_mx是增函数．
∵（$\sqrt{2}$）⁶=2³=8，（$\root{3}{3}$）⁶=3²=9，
∴$\sqrt{2}$＜$\root{3}{3}$
∴log_m$\sqrt{2}$＜log_m$\root{3}{3}$．即$\frac{1}{2x}$＜$\frac{1}{3y}$．
∴2x＞3y．

点评 本题考查了对数的运算性质，对数函数单调性的应用，属于中档题．