Question

如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15海里/小时，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛出发，朝北偏东θ（tanθ=）的方向作匀速直线航行，速度为m海里/小时．
（1）若两船能相遇，求m．
（2）当m=10时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为多少海里？

Answer 1

【答案】分析：（1）设两船在M处相遇，利用正弦定理，即可求出BM，然后求出相遇时的时间．
（2）以A为原点，BA所在直线为y轴，建立直角坐标系，设出在t时刻甲、乙两船分别在P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）处，
求出P、Q坐标利用配方法求出最小值．
解答：解：（1）因为tanθ=，，解得sinθ=，cosθ=；
甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，
设两船在M处相遇，，
由正弦定理，，
∴，
从而有，
又时间，
∴．
（2）以A为原点，BA所在直线为y轴，建立直角坐标系，
设在t时刻甲、乙两船分别在P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）处，
则由tanθ=，cosθ=，sinθ=，
，，

=
=
=．
∴当且仅当t=4时|PQ|取得最小值20．
即两船出发后4小时时间距离最近，最近距离为20海里．
点评：本题主要考查了解三角形问题的实际应用．考查余弦定理以及配方法的应用，考查了学生综合分析问题和解决的能力．