题目内容

精英家教网如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15
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海里/小时，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛出发，朝北偏东θ（tanθ=
1
2
）的方向作匀速直线航行，速度为10
5
海里/小时．
（1）求出发后3小时两船相距多少海里？
（2）求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？
（3）两船在航行中能否相遇，试说明理由．
分析：（1）以A为原点，BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．设在t时刻甲、乙两船分别在P（x1，y1）、Q（x2，y2）处．则根据题意可分别表示出x1和y1，进而根据由tanθ=
1
2
可求得cosθ和sinθ的值，进而表示出x2和y2，令t=3，则P，Q两点坐标可得，进而根据两点间的距离求得PQ的值，即出发后3小时两船相距的距离．
（2）根据（1）可根据两点间的距离求得QP，进而根据t的范围求得PQ的最小值，进而可求得两船出发4小时后距离最近，最近距离为20
2
海里．
（3）根据（2）可知两船之间的最近距离为20
2
海里，推断出两船不可能相遇．
解答：精英家教网解：以A为原点，BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
设在t时刻甲、乙两船分别在P（x1，y1）、Q（x2，y2）处．
则
x1=15
2
tcos45°=15t  
y1=x1=15t 

由tanθ=
1
2
可得，
cosθ=
2
5
5
，sinθ=
5
5
，
故
x2=10
5
tsinθ=10t 
y2=10
5
tcosθ-40=20t-40 

（1）令t=3，P、Q两点的坐标分别为（45，45），（30，20），
|PQ|=
(45-30)2+(45-20)2
=
850
=5
34
．
即出发后3小时两船相距5
34
海里．
（2）由（1）的解法过程易知：
|PQ|=
(x2-x1)2+(y2-y1)2

=
(10t-15t)2+(20t-40-15t)2

=
50t2-400t+1600
=
50(t-4)2+800
≥20
2
，
∴当且仅当t=4时，|PQ|取得最小值20
2
．
即两船出发4小时后距离最近，最近距离为20
2
海里．
（3）由（2）可知，两船之间的最近距离为20
2
海里，所以两船在航行中不会相遇
点评：本题主要考查了解三角形问题的实际应用．考查了学生综合分析问题和解决的能力．
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精英家教网如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15
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海里/小时，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛出发，朝北偏东θ（tanθ=
1
2
）的方向作匀速直线航行，速度为m海里/小时．
（Ⅰ）求4小时后甲船到B岛的距离为多少海里？
（Ⅱ）若两船能相遇，求m．
如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15
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海里/小时，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛出发，朝北偏东θ（tanθ=
1
2
）的方向作匀速直线航行，速度为m海里/小时．
（1）若两船能相遇，求m．
（2）当m=10
5
时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为多少海里？

（本小题满分12分）

如图所示，甲船由A岛出发向北偏东的方向作匀速直线航行，速度为海里/小时，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛出发，朝北偏东的方向作匀速直线航行，速度为海里/小时。

   （1）若两船能相遇，求。

   （2）当时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为多少海里？

 

 
如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15海里/小时，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛出发，朝北偏东θ（tanθ=）的方向作匀速直线航行，速度为10海里/小时．
（1）求出发后3小时两船相距多少海里？
（2）求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？
（3）两船在航行中能否相遇，试说明理由．

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