Question

5．若（$\frac{3}{\sqrt{x}}$-$\root{3}{x}$）ⁿ的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是-90．

Answer 1

分析 先求出n=5，再写出通项公式，令$\frac{5r-15}{6}$=0，解得r=3．即可求出答案．

解答 解：（$\frac{3}{\sqrt{x}}$-$\root{3}{x}$）ⁿ的展开式中所有项系数的绝对值之和等于（$\frac{3}{\sqrt{x}}$+$\root{3}{x}$）ⁿ为展开式中所有项系数的绝对值之和，
令x=1可得：4ⁿ=1024，解得n=5．
∴（$\frac{3}{\sqrt{x}}$-$\root{3}{x}$）⁵的通项公式为：T_r+1=C₅^r（-1）^r3^5-rx${\;}^{\frac{5r-15}{6}}$，
令$\frac{5r-15}{6}$=0，解得r=3．
∴该展开式中的常数项是C₅³（-1）³3²=-90．
故答案为：-90

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．