Question

18．如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．设∠AOD=θ$（θ∈（0，\frac{π}{2}））$．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，梯形ABCD的面积S=$\frac{1}{2}（4+4cosθ）×2sinθ$=4sinθ（1+cosθ），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．．

解答 解：连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．
设∠AOD=θ$（θ∈（0，\frac{π}{2}））$．
OE=2cosθ，DE=2sinθ．
可得CD=2OE=4cosθ，
∴梯形ABCD的面积S=$\frac{1}{2}（4+4cosθ）×2sinθ$
=4sinθ（1+cosθ），
S^′=4（cosθ+cos²θ-sin²θ）
=4（2cos²θ+cosθ-1）
=4（2cosθ-1）（cosθ+1）．
∵θ∈$（0，\frac{π}{2}）$，∴cosθ∈（0，1）．
∴当cosθ=$\frac{1}{2}$即θ=$\frac{π}{3}$时，S取得最大值，S=3$\sqrt{3}$．
故最大值为：3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了换元法、利用导数研究函数的单调性极值与最值、梯形面积、三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．