Question

7．已知边长为2的正三角形ABC，P，M满足|AP|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，则$\overrightarrow{BM}$²的最小值是（　　）

• A． $\frac{9-2\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{11-3\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{13-4\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{15-5\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 画出图形，建立坐标系，求出P的轨迹方程，由中点坐标公式和代入法求得M的轨迹方程，然后利用圆的性质|$\overrightarrow{BM}$²的最小值．

解答 解：由题△ABC为边长为2的正三角形，
如图建立平面坐标系，
可得A（0，$\sqrt{3}$），B（-1，0），C（1，0），
由|$\overrightarrow{AP}$|=1得点P的轨迹方程为x²+（y-$\sqrt{3}$）²=1，
设M（x₀，y₀），由$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，得M为线段PC的中点，
则P（2x₀-1，2y₀），
代入①式得M的轨迹方程为（2x₀-1）²+（2y₀-$\sqrt{3}$）²=1，
即为（（x₀-$\frac{1}{2}$）²+（y₀-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
记圆心为N（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），半径r=$\frac{1}{2}$，
|$\overrightarrow{BM}$|_min=|$\overrightarrow{BN}$|-r=$\sqrt{（\frac{1}{2}+1）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$，
则$\overrightarrow{BM}$²的最小值是$\frac{13-4\sqrt{3}}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查向量平方的最小值的求法，圆方程的运用，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．