Question

【题目】在三棱锥， 和都是边长为的等边三角形， ， 、分别是、的中点.

（1）求证： 平面；

（2）连接，求证： 平面；

（3）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】(1)见解析（2）见解析（3）.

【解析】试题分析：（1）由三角形中位线定理，得出OD∥PA，结合线面平行的判定定理，可得OD∥平面PAC；

（2）等腰△PAB和等腰△CAB中，证出PO=OC=1，而PC=，由勾股定理的逆定理，得PO⊥OC，结合PO⊥AB，可得PO⊥平面ABC；

（3）由（2）易知PO是三棱锥P﹣ABC的高，算出等腰△ABC的面积，再结合锥体体积公式，可得三棱锥的体积．

试题解析：

(1)∵、分别为、的中点.

∴.

又平面. 平面.

∴平面.

（2）连接.

∵， .

∴，

又为的中点，

∴， ，

同理， ， ，

又，而，∴.

又. 平面， 平面.

∴平面.

（3）由（II）可知平面.

∴为三棱锥的高， .

三棱锥的体积为：

.