Question

【题目】已知椭圆的上顶点为，直线与该椭圆交于两点，且点恰为的垂心，则直线的方程为______ .

Answer 1

【答案】

【解析】

设PQ直线y＝x+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），，3x2+4mx+2m2﹣2＝0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．

上顶点，右焦点F为垂心

因为＝﹣1，且FM⊥l，

所以k1＝1，

所以设PQ直线y＝x+m，

且设P（x1，y1），Q（x2，y2）

由

消y，得3x2+4mx+2m2﹣2＝0

△＝16m2﹣12（2m2﹣2）＞0，m2＜3．

y1y2＝（x1+m）（x2+m）＝x1x2+m（x1+x2）+m2．

又F为△MPQ的垂心，

∴PF⊥MQ，∴

又

∴

∴，

∴

经检验满足m2＜3

∴存在满足条件直线l方程为：x﹣y+1＝0，3x﹣3y﹣4＝0

∵x﹣y+1＝0过M点 即MP重合 不构成三角形，

∴3x﹣3y﹣4＝0满足题意．

故答案为：