Question

【题目】如图所示，在四棱锥中， ， 都是等边三角形，平面平面，且， .

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）是上一点，当平面时，三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)6.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）要证面面垂直，一般先证线面垂直，也就要证线线垂直，经过计算，得出，从而有，即，于是有面面垂直的性质知，从而得证面面垂直；

（Ⅱ）要求三棱锥的体积，关键是找出E点的位置，由于平面，可以过BE作与平面PCD平行的平面，交AD于G，则BG//CD，EG//PD，由已知可知，　确定了G点，就可确定E点位置，从而求出E到平面PCD的距离，再求得面积，就有，从而得所求体积．

试题解析：

（Ⅰ）因为， ， ，

所以，所以， ，

又因为是等边三角形，所以，所以，

因为平面平面，平面平面，

所以平面，

因为平面，所以平面.

（Ⅱ）过点作交于，过点作交于，

因为， 平面， 平面，所以平面，

同理可得平面，所以平面平面，

因为平面，所以平面.

因为，所以，在直角三角形中， ， ，

所以，所以，

在平面内过作于，

因为平面， 平面，所以，

因为，所以平面，所以是点到平面的距离，

过点作于，则，

由，得，所以，

因为，所以.