Question

【题目】经过函数性质的学习，我们知道：“函数的图象关于轴成轴对称图形”的充要条件是“为偶函数”.

（1）若为偶函数，且当时，，求的解析式，并求不等式的解集；

（2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数的图象关于直线成轴对称图形”的充要条件是“为偶函数”.若函数的图象关于直线对称，且当时，.

（i）求的解析式；

（ii）求不等式的解集.

Answer 1

【答案】(1) 不等式的解集是或．(2) ,（ii）不等式的解集为．

【解析】

（1）根据函数对称性得出在上的解析式，再列出不等式得出不等式的解集；

（2）根据是偶函数得出在上的解析式，（ii）根据单调性和对称性列不等式得出解集．

（1）设，则，则，

又为偶函数，所以．

所以.

因为为偶函数，且在，上是减函数，

所以等价于，

即，解得或．

所以不等式的解集是或．

（2）因为的图象关于直线对称，所以为偶函数，

所以，即对任意恒成立．

又当时，，

所以．

所以

任取，，，且，则，

因为，所以，又，，

所以，即．

所以函数在，上是增函数，

又因为函数的图象关于直线对称，

所以等价于，

即，解得．

所以不等式的解集为．