Question

19．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，满足acosB+bcosA=2ccosC．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，求边长c的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简可得sin（A+B）=2sinCcosC，从而求得cosC=$\frac{1}{2}$，从而解得；
（Ⅱ）由S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab=2$\sqrt{3}$知ab=8，从而可得c²≥2ab-2abcosC=8，从而解得．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理，可得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
∴sin（A+B）=2sinCcosC，
∴sinC=2sinCcosC，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
故C=60°；
（Ⅱ）由已知S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab=2$\sqrt{3}$，
所以ab=8，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
∴c²≥2ab-2abcosC，
∴c²≥8，
∴c≥2$\sqrt{2}$，（当且仅当a=b时取等号）．
∴c的最小值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角恒等变换及正弦定理与余弦定理，属于基础题．