Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线相交于P、Q两点，线段PQ的中垂线交抛物线对称轴于点R，求证：|PQ|=2|FR|．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由抛物线方程求得其焦点坐标，设出PQ所在直线方程，和抛物线方程联立，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求得|PQ|，然后求出PQ的中点坐标，再求出PQ的垂直平分线方程，求出其在x轴上的截距，得到|RF|，从而证得答案．

解答： 证明：抛物线y²=2px的焦点坐标为（

p

2

，0），
由题意可设PQ所在直线方程为y=k（x-

p

2

），
联立

y=k(x- p 2 ) y2=2px

，得4k²x²-（4k²p+8p）x+k²p²=0．
则x1+x2=

4k2p+8p

4k2

=p+

2p

k2

，
∴|PQ|=x1+x2+p=2p+

2p

k2

．
PQ的中点坐标为（

p

2

+

p

k2

，

p

k

），
∴PQ的垂直平分线方程为y-

p

k

=-

1

k

(x-

p

2

-

p

k2

)，
取y=0，得x=

3

2

p+

p

k2

，
则|RF|=P+

p

k2

．
故：|PQ|=2|FR|．

点评：本题考查了直线与抛物线的关系，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常采用联立直线与圆锥曲线方程，化为关于x的一元二次方程后利用根与系数关系求解，是中档题．