Question

已知点F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且

OP

•

OF

=

FP

•

FQ

（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M．
（1）已知

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，求λ₁+λ₂的值
（2）求|

MA

|•|

MB

|的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先设点P（x，y），由题中条件：“

OP

•

QF

=

FP

•

FQ

”得：x，y之间的关系，化简得C：y²=4x．
（Ⅱ）（1）设直线AB的方程为：x=my+1（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又M（-1，-

2

m

）
联立方程组

y2=4x x=my+1

，将直线的方程代入双曲线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合直线l与双曲线相交于两个不同的点得到根的判别式大于0，结合根与系数的关系及向量的条件，从而解决问题．
（2）先将|

MA

|•|

MB

|=（

1+m2

）²|y₁-y_M||y₂-y_M|表示成关于m的函数形式，再利用基本不等式求此函数式的最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）设点P（x，y），则Q（-1，y），由

OP

•

QF

=

FP

•

FQ

得：
（x+1，0）•（2，-y）=（x-1，y）•（-2，y），化简得C：y²=4x．
（Ⅱ）（1）设直线AB的方程为：
x=my+1（m≠0）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又M（-1，-

2

m

）
联立方程组

y2=4x x=my+1

，
消去x得：y₂-4my-4=0，
△=（-4m）²+12＞0，

y1+y2=4m y1y2=-4.

由

MA

=λ，

AF

，

MB

=λ2

BF

，
得：y1+

2

m

-λ1y1，y2+

2

m

=-λ2y2，
整理得：λ1=-1-

2

my1

，λ2=-1-

2

my2

，
∴λ1+λ2=-2-

2

m

(

1

y1

+

1

y2

)
=-2-

2

m

•

y1+y2

y1y2

=-2-

2

m

•

4m

-4

=0．
（2）解：|

MA

|•|

MB

|=（

1+m2

）²|y₁-y_M||y₂-y_M|
=（1+m²）|y₁y₂-y_M（y₁+y₂）+y_M²|
=（1+m²）|-4+

2

m

×4m+

4

m2

|
=(1+m2)(4+

4

m2

)
=4（2+m²+

1

m2

）≥4（2+2

m2• 1 m2

）=16、
当且仅当m2=

1

m2

，即m=±1时等号成立，所以|

MA

|•|

MB

|最小值为16．

点评：本小题考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．