Question

【题目】已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为，.过焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为3，直线与椭圆相切.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在直线：与椭圆相交于两点，使得？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由！

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）由题意列出关于a,b的关系式，解得a，b即可.

（2）将直线与椭圆联立，将向量数量积的运算用坐标形式表示，利用根与系数之间的关系确定k的取值范围．

（1）在中，令，得，解得.

由垂径长（即过焦点且垂直于实轴的直线与椭圆相交所得的弦长）为3，

得，

所以.①

因为直线：与椭圆相切，则.②

将②代入①，得.

故椭圆的标准方程为.

（2）设点，.

由（1）知，则直线的方程为.

联立得，

则恒成立.

所以，，

.

因为，

所以.即.

即 ，

得，得，

即，

解得；

∴直线存在，且的取值范围是.