Question

【题目】己知数列，首项，设该数列的前项的和为，且

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的通项公式；

（3）在第（2）小题的条件下，令，是数列的前项和，若对，恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）令求出，再令，由得出，两式相减得出，再结合可得知数列是以为首项，以为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式可求出；

（2）将代入，结合对数的运算律可求出；

（3）利用裂项求和法求出，求出的取值范围，从而可得出实数的取值范围.

（1）数列的前项的和为，且.

当时，则；

当时，由得出，

两式相减得，即，，又.

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，；

（2），

因此，；

（3），

所以，，

可知数列单调递增，所以，，且，则，

对任意，恒成立，则.

因此，实数的取值范围是.