Question

【题目】已知数列满足：，（），数列满足：，（），数列的前项和为．

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：数列是等比数列；

（3）求证：数列是递增数列；若当且仅当时，取得最小值，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析，的取值范围是

【解析】

（1）根据已知条件和等差数列的定义，可得是等差数列，即可求通项公式；

（2）由已知的递推公式结合等比数列的定义，即可求证结论；

（3）求出通项公式，证当时，即可；并且由已知可得，由此求出的取值范围．

（1）解：（）．

，即，

是等差数列．

设等差数列的公差为．

又，，

，即．

（2）证明：（），

，由（1）得，

于是

．

，，

是以为首项、以为公比的一个等比数列．

（3）证明：由（2）得，

由（1）得，．

于是当时，．

又，．

是递增数列．

当且仅当时，取得最小值，

．

即，解得．

所求的取值范围是．