Question

【题目】如图,在四棱锥中,平面,为线段上一点不在端点.

(1)当为中点时，，求证：面

(2)当为中点时，是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在求出M的坐标，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）存在，

【解析】

（1）法一：建立空间直角坐标系，找坐标，利用直线的方向向量与平面的法向量垂直，证明即可.法二：取BP的中点E，连接，，则，根据线面平行的判定定理证明即可.

（2）假设存在点M，根据，求点M的坐标，求平面的法向量为，根据，求解，即可.

(1)方法一：证明：因为平面，，平面.

所以.

又，所以，，两两垂直.

分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

则，.

显然平面的法向量为，则

又不在平面内，所以平面.

方法二：取的中点，连接，

由为的中点，可知

在平面四边形中，

即，所以，即

由已知得

所以，四边形是平行四边形，所以

因为平面，平面

所以平面

(2)假设存在点M使得与平面所成角的正弦值为

则，所以

为中点，则，即

设平面的法向量为

∴，不妨设，则

∴

设线面角为，则

解得或1（舍去）

∴时，直线与平面所成角的正弦值为．