Question

【题目】已知过原点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B．

（1）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；

（2）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用圆的几何性质，总有，根据斜率公式得到轨迹方程；（Ⅱ）做出曲线的图象， 恒过点，利用数形结合，可知斜率的变化范围．

试题解析：（Ⅰ）设，则，

当直线的斜率不为0时，由得，即

当直线的斜率为0时，也适合上述方程

∴ 线段的中点的轨迹的方程为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，，又直线： 过定点，当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线： 曲线只有一个交点．