Question

【题目】已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，过点的直线交于，两点，的周长为， 的离心率

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）设点，，过点作轴的垂线，试判断直线与直线的交点是否恒在一条定直线上？若是，求该定直线的方程；否则，说明理由.

Answer 1

【答案】（I）；（II）.

【解析】

（I）由的周长为求得椭圆的a，再离心率，然后求得椭圆的方程；

（II）设直线l：x=my+4，，联立方程，运用韦达定理，再写出直线BD的方程为：与的交点，最后求解计算出与m无关，得出答案.

解：（I）由椭圆的定义，的周长为，即4a=20，解得a=5，

又椭圆的离心率，解得c=4

所以

所以椭圆方程；

（II）显然过点的直线l不垂直y轴，设l：x=my+4，

联立 ，得

韦达定理：

直线的方程为

直线BD的方程为：

解得

又点在直线l上，所以

再代入解得

又

代入解得(与m无关)

故直线与直线BD的交点恒落在直线上.