Question

【题目】已知函数， .

（1）求函数的极值；

（2）当时，若直线： 与曲线没有公共点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，函数无极值；当时， 有极小值为，无极大值.

（2）.

【解析】试题分析：（1）求得，可分和两种情况分类讨论，得出函数的单调性，即可求得函数的极值；

（2）当时，把直线： 与曲线没有公共点，等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程在上没有实数解，即在上没有实数解，令，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求解实数的取值范围.

试题解析：

（1）定义域为， .

①当时， ， 为上的增函数，所以函数无极值.

②当时，令，解得.

当， ， 在上单调递减；

当， ， 在上单调递增.

故在处取得极小值，且极小值为，无极小值.

综上，当时，函数无极值；

当时， 有极小值为，无极大值.

（2）当时， ，

直线： 与曲线没有公共点，等价于关于的方程

在上没有实数解，即关于的方程在上没有实数解，

即在上没有实数解.

令，则有.令，解得，

当变化时， ， 的变化情况如下表：

且当时， ； 时， 的最大值为；当时， ，

从而的取值范围为.

所以当时，方程无实数解，

解得的取值范围是.