Question

【题目】已知矩形，面，分别是的中点，设，．

（1）证明：；

（2）求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

解法一（1）接，交于点，连，，可得，，可得面，从而可证明结论.
（2）根据条件，面,则，又是矩形，则，可得面,所以，所以就是二面角的平面角，再根据，可求得答案.

解法二，建系（1）利用空间向量数量积计算证明，（2）先求两平面法向量，再根据法向量夹角与二面角关系得结果.

（1）如图连接，交于点，

因为是矩形，所以是与的中点，再连，．

因为分别是的中点，

所以，

所以．

又因为面，所以面，

．

又因为面，面，所以面，

而面，所以．

（2）因为面,则

是矩形，则,又

所以面,所以

所以就是二面角的平面角，

因为且所以，

故二面角的平面角为．

解法二：

（1）证明：如图，以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，

则，，，，

，，，

，，

．

（2）由（1）知，，

，，

可知平面的法向量为，

设平面的法向量为，

则，

解得．

设二面角的平面角为，

则，

故二面角的平面角为．