Question

4．设函数f（x）=xe^x．     
（1）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间与极值．
（3）若方程e^x=$\frac{a}{x}$有实数解，求实数a的范围．

Answer 1

分析 （1）先求出切点的坐标，然后求出x=1处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程即可求出切线方程．
（2）利用导数先判断函数的单调性，f（x）的单调递减区间是（-∞，-1），单调递增区间是（-1，+∞）．可得f（x）_极小值=f（-1）=-$\frac{1}{e}$，无极大值；
（3）方程e^x=$\frac{a}{x}$有实数解，等价于xe^x=a有实数解，即可求实数a的范围．

解答 解：（1）∵f（x）=xe^x
∴f′（x）=e^x+xe^x，∴f′（1）=2e，又f（1）=e，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-e=2e（x-1），
即2ex-y-e=0；
（2）令f′（x）=e^x+xe^x=0，得x=-1；
列表如下

x	（-∞，-1）	-1	（-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）		极小值

∴f（x）的单调递减区间是（-∞，-1），单调递增区间是（-1，+∞）．
∴f（x）_极小值=f（-1）=-$\frac{1}{e}$，无极大值；
（3）方程e^x=$\frac{a}{x}$有实数解，等价于xe^x=a有实数解，
∵f（x）_极小值=f（-1）=-$\frac{1}{e}$，∴$a≥-\frac{1}{e}$．

点评 本题主要考查了实际问题中导数的意义，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查恒成立问题的等价转化能力及计算能力，属于中档题．