Question

8．函数y=3cos²x-4sinx+1的值域为[-3，$\frac{16}{3}$]．

Answer 1

分析 化简函数y，利用换元法设sinx=t，再结合二次函数的图象与性质，即可求出函数y的值域．

解答 解：化简可得y=4-3sin²x-4sinx，
设sinx=t，则t∈[-1，1]，
换元可得y=-3t²-4t+4=-3（t+$\frac{2}{3}$）²+$\frac{16}{3}$，
由二次函数的性质得，
当t=-$\frac{2}{3}$时，函数y取得最大值$\frac{16}{3}$，
当t=1时，函数y取得最小值-3，
所以函数y的值域为[-3，$\frac{16}{3}$]．
故答案为：[-3，$\frac{16}{3}$]．

点评 本题考查了换元法求三角函数的最值问题，涉及换元法和二次函数在闭区间上的最值问题，是基础题．