Question

【题目】已知椭圆 经过点 ，离心率为 ， 为坐标原点．
（I）求椭圆 的方程．
（II）若点 为椭圆 上一动点，点 与点 的垂直平分线l交 轴于点 ，求 的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为椭圆的离心率为 ，

所以 ，故 ，

所以椭圆 的方程为为 ，

又点 在椭圆上，

所以 ，

解得 ，

所以椭圆 的方程为 ．

（Ⅱ）由题意直线 的斜率存在，设点 ，

则线段 的中点 的坐标为 ，且直线 的斜率 ，

因为直线 ，

故直线 的斜率为 ，且过点 ，

所以直线 的方程为： ，

令 ，得 ，

则 ，

由 ，得 ，

化简得 ．

所以 ．

当且仅当 ，即 时等号成立

【解析】(1)根据椭圆的简单性质求结合点在椭圆上代入数值即可求出椭圆的方程。(2)假设斜率存在设出点P的坐标利用中点的性质求出点D的坐标再结合直线垂直斜率之积为-1以及点在直线上求出直线的方程，然后求出直线和y轴的交点坐标再将其代入到椭圆的方程进而得到关于y0的代数式，再利用基本不等式求出最小值。