Question

如图，在直三棱柱中，平面侧面，且
(1) 求证：；
(2) 若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小。

Answer 1

（1）过程详见解析；（2）.

试题分析：本题以直三棱柱为背景，考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑思维能力、转化能力、计算能力.第一问，作出辅助线AD，即可得到，利用面面垂直的性质，得到，再利用线面垂直的性质，得到，同理，得到，利用线面垂直的判定，得到侧面，从而利用线面垂直的性质，得到；第二问，可以利用传统几何法，证明二面角的平面角为，在三角形中，利用边角关系解出角的值，还可以利用向量法，建立空间直角坐标系，计算出平面和平面的法向量，利用夹角公式计算.
试题解析：（1）证明：如图，取的中点，连接，                    1分

因，则                            2分
由平面侧面，且平面侧面，    3分
得，又平面，            
所以.              4分
因为三棱柱是直三棱柱，
则，
所以.
又，从而侧面 ，
又侧面，故.                7分
（2）解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影∴ 即为直线与所成的角，则        8分
在等腰直角中，，且点是中点
∴ ，且，
∴                                                  9分
过点A作于点，连
由（1）知，则，且
∴ 即为二面角的一个平面角                  10分
且直角中：
又，
∴ ，且二面角为锐二面角
∴ ，即二面角的大小为                 14分
解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则
，        ，           ，            
，  ，   ，      9分
设平面的一个法向量
由，  得：
 令 ，得 ，则              10分
设直线与所成的角为，则
得，解得，即      12分
又设平面的一个法向量为，同理可得，
设锐二面角的大小为，则
，且，得
∴ 锐二面角的大小为。                              14分