题目内容

已知 $数学公式$ =（sinωx+cosωx，2sinωx）， $数学公式$ =（cosωx-sinωx， $数学公式$ cosωx），（ω＞0），若f（x）= $数学公式$ 且 $数学公式$ ，f（x）在（0， $数学公式$ ）内有最大值无最小值．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，f（A）=1，其面积 $数学公式$ ，求△ABC周长的最小值．

解：（1）∵f（x）= $\text{[math]}$ =（sinωx+cosωx）（cosωx-sinωx）+2sinωx• $\text{[math]}$ cosωx=cos2ωx+ $\text{[math]}$ sin2ωx=2sin（2ωx+ $\text{[math]}$ ）．
∵ $\text{[math]}$ ，∴2ω• $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =2kπ+ $\text{[math]}$ ，从而ω=6k+1，k∈z．
又 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，∴ω≤3，因此 k=0，ω=1，∴T= $\text{[math]}$ =π．
（2）∵f（A）=1，∴2sin（2A+ $\text{[math]}$ ）=1，∴A= $\text{[math]}$ ，S_△ABC= $\text{[math]}$ bc•sinA= $\text{[math]}$ ，∴bc=4，
∴△ABC周长为 b+c+a=b+c+ $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =6，当且仅当b=c时等号成立．
故△ABC周长的最小值为6．
分析：（1）化简f（x）= $\text{[math]}$ 的解析式为2sin（2ωx+ $\text{[math]}$ ），根据 $\text{[math]}$ ，求出ω=1，可得周期T的值．
（2）根据f（A）=1，求得A= $\text{[math]}$ ，再由S_△ABC= $\text{[math]}$ bc•sinA= $\text{[math]}$ ，求得 bc 的值，再利用基本不等式求出△ABC周长的最小值．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，正弦定理和基本不等式的应用，三角函数的周期性以及求法，属于中档题．