Question

14．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-y²=1（a＞0）的一条渐近线方程为$\sqrt{3}$x+y=0，则该双曲线的离心率为2．

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程，分析可得$\frac{1}{a}$=$\sqrt{3}$，则a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由双曲线的几何性质可得c的值，进而由双曲线的离心率公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}$-y²=1（a＞0），
其渐近线方程为y=±$\frac{x}{a}$，
若其一条渐近线方程为$\sqrt{3}$x+y=0，即y=-$\sqrt{3}$x，
则有$\frac{1}{a}$=$\sqrt{3}$，则a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
c=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
该双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=2；
故答案为：2．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键是由双曲线的渐近线方程求出a、b的关系．