Question

【题目】已知椭圆的焦点坐标为，且短轴一顶点满足．

（1）求椭圆的方程；

（2）过的直线与椭圆交于不同的两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当直线，内切圆面积的最大值为

【解析】

试题分析：（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得，由

可得，又，由此可求椭圆方程；

（2）设，不妨，设的内切圆的半径为，则的周长为8，，因此最大，就最大．设直线的方程为，与椭圆方程联立，从而可表示的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论

试题解析：（1）由题，设椭圆方程，不妨设，则，∴，故椭圆方程为．

（2）设，不妨设，设的内切圆半径为，则的周长为8，面积，因此最大，就最大，由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，由得，则，

令，则，则，令，则，当时，，在上单调递增，故有，即当时，，，这时所求内切圆面积的最大值为．

故直线，内切圆面积的最大值为．