Question

【题目】已知函数f(x)＝.

(1)判断函数f(x)的奇偶性；

(2)判断并用定义证明函数f(x)在其定义域上的单调性．

(3)若对任意的t1，不等式f()＋f()<0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）.

【解析】

（1）根据奇偶性的判定方法求解即可；（2）根据“取值、作差、变形、定号、结论”的步骤证明即可；（3）根据函数的单调性和奇偶性，将不等式转化为对任意t1恒成立求解，通过换元法并结合分离参数求出函数的最值后可得所求的范围．

(1)∵2x＋1≠0，

∴函数的定义域为R，关于原点对称．

∵，

∴函数为奇函数．

（3）函数在定义域上为增函数．证明如下：

设，且，

则，

∵y＝2x在上是增函数，且，

∴，

∴，

∴，

∴函数在定义域内是增函数．

（3）∵，

∴．

∵函数是奇函数，

∴．

又函数在定义域内是增函数，

∴对任意1恒成立，

∴对任意t1恒成立．

令,，则，

∵函数在上是增函数，

∴，

∴，

∴实数的取值范围为．