Question

已知点F（

2

，0），A（-1，0），B（1，0），直线x=

2

2

上有两个动点M，N，始终使∠MFN=45°，三角形MFN的外心轨迹为曲线C，P为曲线C在一象限内的动点，设∠PAB=α，∠PBA=β，∠APB=γ，则（　　）

• A、tanα+tanβ+tanγ=0
• B、tanα+tanβ-tanγ=0
• C、tanα+tanβ+2tanγ=0
• D、tanα+tanβ-2tanγ=0

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：三角函数的求值,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据双曲线的第二定义，求出曲线C的方程为x²-y²=1，然后利用两角和的正切公式，即可得到结论．

解答： 解：∵∠MFN=45°，
∴MN所对的圆心角∠MNP=90°，∠MPC=45°，
即cos∠MPC=

PC

MP

=

PC

PF

=

2

2

，
即

PF

PC

=

2

＞1，则根据双曲线的第二定义可知，
三角形外接圆的圆心P的轨迹是以F为焦点，离心率e=

2

的双曲线，
其中c=

2

，由e=

c

a

=

2

，解得a=1，b²=c²-a²=1，
即双曲线的方程为x²-y²=1，则y²=x²-1，
∵P为曲线C在一象限内的动点，设∠PAB=α，∠PBA=β，∠APB=γ，
∴设P（x，y），则tan∠PAB=tanα=

y

x+1

，-tan∠PBA=-tanβ=

y

x-1

，
则-tanαtanβ=

y

x+1

•

y

x-1

=

y2

x2-1

=1，
即tanαtanβ=-1，
tan∠APB=tanγ=tan（180°-α-β）=-tan（α+β）=-

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=-

tanα+tanβ

2

，
即tanα+tanβ+2tanγ=0，
故选：C

点评：本题主要考查圆锥曲线的方程的求解以及两角和的正切公式的应用，根据双曲线的第二定义，求出曲线C的方程是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．