Question

如图所示，正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，且它们的边长都是1，点M在AC上，点N在BF上，若．
（1）求MN的长；
（2）当a为何值时，MN最小，并求出最小值？
（3）当MN最小时，求三棱锥M-ANB的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）由垂直关系可以建立空间直角坐标系，用a表示点M，N的坐标，再由两点间的距离公式可求MN的长；
（2）由（1）中MN的函数表达式，容易求出MN最小时a的值；
（3）由作图知，MP是三棱锥M-ABN底面ABN上的高，由棱锥的体积公式可求出体积．
解答：解：（1）如图，建立平面直角坐标系；               
∵正方形的边长为1，
则A（1，0，0），B（0，0，0），C（0，0，1），E（0，1，0），F（1，1，0），
由CM=2BN=a，在平面ABCD内作MQ⊥BC，MP⊥AB，垂足分别为Q，P，
则CQ=MQ=，MP=1-，
∴M（，0，），N（，，0）；
∴MN==；

（2）由（1）知，当a=时，MN有最小值，此时MN=•=；

（3）在平面ABCD内，MP⊥AB，且平面ABCD⊥平面ABEF，
∴MP⊥平面ABEF；
所以，三棱锥M-ABN的体积为：V=•S_△ABN•h
=••AB•BN•sin45°•MP
=••1•••
=
=
=．
点评：本题综合考查了空间直角坐标系的应用，求两点间的距离，函数的最大值，三棱锥的体积等，根据垂直关系建立空间直角坐标系是解本题的关键．