Question

如图所示，正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．
（1）求证：BD₁∥平面A₁DE；     
（2）求证：D₁E⊥A₁D；
（3）（文）求D₁E与平面A₁DE所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）四边形ADD₁A₁为正方形，O是AD₁的中点，点E为AB的中点，连接OE，所以EO为△ABD₁的中位线，从而有EO∥BD₁，利用线面平行的判定定理可证BD₁∥平面A₁DE；
（2）由已知可得：AB⊥平面ADD₁A₁，从而可知AB⊥A₁D，所以A₁D⊥平面A₁DE，从而有A₁D⊥D₁E；
（3）利用等体积先求出D₁到平面A₁DE的距离，设D₁E与平面A₁DE所成角为α，利用正弦函数可求D₁E与平面A₁DE所成角．

解答：证明：（1）四边形ADD₁A₁为正方形，O是AD₁的中点，点E为AB的中点，连接OE．
∴EO为△ABD₁的中位线
∴EO∥BD₁…（2分）
又∵BD₁?平面A₁DE，OE?平面A₁DE
∴BD₁∥平面A₁DE…（4分）
（2）由已知可得：AB⊥平面ADD₁A₁，A₁D?平面ADD₁A₁
∴AB⊥A₁D，
∵正方形AA₁D₁D
∴A₁D⊥AD₁，
AB∩AD₁=A
∴A₁D⊥平面AD₁E，D₁E?平面AD₁E
∴A₁D⊥D₁E…．（4分）
（3）（文科）∵S△A1D1D=

1

2

，AE=1，S△A1DE=

3

2

∴

1

3

×

1

2

×1=

1

3

×

3

2

×h
∴h=

3

3

∵D1E=

3

设D₁E与平面A₁DE所成角为α
∴sinα=

1

3

∴α=arcsin

1

3

…（6分）

点评：本题以面面垂直为载体，考查线面位置关系，考查线面角，综合性强．