Question

函数y=f（x）（x≠0）是奇函数，且当x∈R⁺时是增函数，若f（1）=0，则不等式f[x(x-

1

2

)]＜0的解集为

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数为奇函数求出f（-1）=0，再将不等式 f[x（x-

1

2

）]＜0分成两类加以讨论，再分别利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集再求并即可．

解答： 解：∵f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f（1）=0，
∴f（-1）=-f（1）=0，且函数f（x）在（-∞，0）内是增函数．
∴f[x（x-

1

2

）]＜0?当x（x-

1

2

）＞0时，f[x（x-

1

2

）]＜0=f（1）或
当x（x-

1

2

）＜0时，f[x（x-

1

2

）]＜0=f（-1）
根据f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内是都是增函数，
得到：0＜x（x-

1

2

）＜1或x（x-

1

2

）＜-1⇒

1

2

＜x＜

1+ 17

4

或

1- 17

4

＜x＜0 或x∈Φ
故答案为：{x|

1

2

＜x＜

1+ 17

4

或

1- 17

4

＜x＜0}

点评：本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于基础题．结合函数的草图，会对此题有更深刻的理解．