Question

10．如图，在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起为△D′AE，且平面D′AE⊥平面ABCE．
（1）求证：AD′⊥BE；
（2）求三棱锥D′-ABE的体积；
（3）求D′E与BC所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）取AE中点F，连结D′F，BF，计算D′B，由勾股定理的逆定理可推出AD′⊥DB，由折叠的性质可得AD′⊥D′E，故而AD′⊥平面BD′E，从而推出AD′⊥BE；
（2）V_{棱锥D′-ABE}=$\frac{1}{3}$S_△ABE•D′F=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AE×BE×D′F$；
（3）过E做EM∥BC，交AB于M，连结D′M，则，∠MED′为D′E与BC所成的角．计算△D′ME的三边长，得出∠MED′的大小．

解答 证明：（1）取AE中点F，连结D′F，BF，
∵AD′=D′E=1，∠AD′E=90°，∴D′F⊥AE，D′F=EF=$\frac{1}{2}AE$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵平面D′AE⊥平面ABCE，平面D′AE∩平面ABCE=AE，D′F?平面D′AE，D′F⊥AE，
∴D′F⊥平面ABCE，∵BF?平面ABCE，
∴D′F⊥BF，
∵∠AED′=∠BEC=45°，∴BE⊥AE，
∴BF=$\sqrt{B{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，∴BD′=$\sqrt{D′{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∵AD′=1，AB=2，∴AD′²+BD′²=AB²，∴AD′⊥BD′．
又∵AD′⊥D′E，D′E?平面BD′E，BD′?平面BD′E，D′E∩BD′=D′，
∴AD′⊥平面BD′E，∵BE?平面BD′E，
∴AD′⊥BE．
（2）V_{棱锥D′-ABE}=$\frac{1}{3}$S_△ABE•D′F=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AE×BE×D′F$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
（3）过E做EM∥BC，交AB于M，连结D′M，则M为AB的中点，∠MED′为D′E与BC所成的角．
∵AD′⊥BD′，∴D′M=$\frac{1}{2}AB$=1，∵D′E=1，ME=BC=1，
∴△D′ME是等边三角形，∴∠MED′=60°．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，异面直线所成的角，正确作出空间角是解题关键．