题目内容

5．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，AA1=3，E为线段A1C上的动点，则满足ED⊥ED1的点E的个数为（　　）
A．0B．1C．2D．无数个

分析 以A为坐标原点建立如图所示的空间坐标系，利用向量垂直的充要条件，判断满足条件的点E的个数，进而得到答案．

解答 解：以A为坐标原点建立如图所示的空间坐标系，

则D（0，2，0），D1（0，2，3），
设A1E=λA1C，（0≤λ≤1），
则由A1（0，0，3），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（1，2，-3）得：
$\overrightarrow{AE}$=（λ，2λ，3-3λ），
则$\overrightarrow{ED}$=（-λ，2-2λ，3λ-3），$\overrightarrow{{ED}_{1}}$=（-λ，2-2λ，3λ），
若ED⊥ED1，则$\overrightarrow{ED}$⊥$\overrightarrow{{ED}_{1}}$，
即λ2+（2-2λ）2+3λ（3λ-3）=0，
即14λ2-17λ+4=0，
解得：λ=$\frac{17±\sqrt{65}}{28}$，
故存在两个满足条件的点，
故选：C．

点评 本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，向量垂直的充要条件，难度中档．

练习册系列答案
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15．如图是用条件语句编写的一个程序：若输入4，则输出的结果是15，该程序的功能是求函数$y=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-1}\\ 2\\{2x}\end{array}}\right.，\begin{array}{l}{x＞3}\\{x=3}\\{x＜3}\end{array}$的值．
16．有下列四个命题：
p1：?x，y∈R，sin（x-y）=sinx-siny；
p2：已知a＞0，b＞0，若a+b=1，则$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最大值是9；
p3：直线ax+y+2a-1=0过定点（0，-l）；
p4：曲线y=4x-x3在点（-1，-3）处的切线方程是y=x-2
其中真命题是（　　）
A．p1，p4B．p1p2C．p2，p4D．p3，p4
13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（x+1），}&{0＜x≤2}\\{1-{2}^{x}，}&{-2≤x≤0}\end{array}\right.$，若g（x）=|f（x）|-kx-k有3个零点，则实数k的取值范围是（　　）
A．（0，$\frac{1}{e}$）B．（0，$\frac{1}{2e}$）C．[$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{2e}$]D．[$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$）
20．已知有穷数列：${a_1}，{a_2}，{a_3}，…，{a_k}\;（k∈{N^*}，k≥3）$的各项均为正数，且满足条件：
①a1=ak；②${a_n}+\frac{2}{a_n}=2{a_{n+1}}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}\;\;（n=1，2，3，…，k-1）$．
（Ⅰ）若k=3，a1=2，求出这个数列；
（Ⅱ）若k=4，求a1的所有取值的集合；
（Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．
10．如图，在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起为△D′AE，且平面D′AE⊥平面ABCE．
（1）求证：AD′⊥BE；
（2）求三棱锥D′-ABE的体积；
（3）求D′E与BC所成角的大小．
17．函数f（x）=|lgx|-cosx的零点的个数为（　　）
A．3B．4C．5D．6
14．已知命题p：?x∈（1，+∞），$\sqrt{x}$＞1；命题q：?a∈（0，1），函数y=ax在（-∞，+∞）上为减函数，则下列命题为真命题的是（　　）
A．p∧qB．￢p∧qC．p∧￢qD．￢p∧￢q
15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3≥6，S5≤20，则a6的最大值为10．

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