Question

在等比数列{a_n}中，公比q＞1，且a₃-a₄+a₅=24，a₁+a₄=18．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=

2n-1

(an+1)(an+1+1)

，S_n为数列{b_n}的前n项和，证明：

1

15

≤S_n＜

1

6

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用待定系数法可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用裂项法求出S_n，即可得出结论．

解答： （1）解：由a₃-a₄+a₅=24，a₁+a₄=18得：a₁q²-a₁q³+a₁q⁴=24，a₁+a₁q³=18，
∴q=2，a₁=2，
∴a_n=2ⁿ；
（2）证明：b_n=

2n-1

(an+1)(an+1+1)

=

2n-1

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)，
∴S_n=

1

2

(

1

3

-

1

2n+1+1

)．
∵0＜

1

2n+1+1

≤

1

5

，
∴

1

15

≤S_n＜

1

6

．

点评：本题考查等比数列的通项，考查数列的求和，考查数列与不等式的综合，属于中档题．