Question

3．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$cos⁴x+2sinxcosx-$\sqrt{3}$sin⁴x．
（1）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求f（x）的最大值、最小值以及取得最值时的x值；
（2）设g（x）=3-2m+mcos（2x-$\frac{π}{6}$）（m＞0），若对于任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，都存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过x的范围，结合正弦函数的有界性求解即可．
（2）通过任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]，求出两个函数的值域，列出不等式组$\left\{\begin{array}{l}3-\frac{3m}{2}≤1\\ 3-m≥2\end{array}\right.$，求解m的范围即可．

解答 解：（1）$f（x）=\sqrt{3}{cos^4}x+2sinxcosx-\sqrt{3}{sin^4}x=2sin（2x+\frac{π}{3}）$…（2分）∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$∴$2x+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$∴$当2x+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}即x=\frac{π}{12}时$，f（x）_max=2∴$当2x+\frac{π}{3}=\frac{4π}{3}即x=\frac{π}{2}时$，$f{（x）_{min}}=-\sqrt{3}$
综上所述：$当x=\frac{π}{12}时$，f（x）_max=2；$当x=\frac{π}{2}时$，$f{（x）_{min}}=-\sqrt{3}$…（6分）
（2）∵${x_1}∈[{0，\frac{π}{4}}]$∴$2{x_1}+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$，∴$sin（2{x_1}+\frac{π}{3}）∈[\frac{1}{2}，1]$即f（x₁）∈[1，2]，
$又∵{x_2}∈[{0，\frac{π}{4}}]$，∴$2{x_2}-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，∴$cos（2{x_2}-\frac{π}{6}）∈[\frac{1}{2}，1]$，
又∵m＞0，∴$g（{x_2}）=3-2m+mcos（2{x_2}-\frac{π}{6}）∈[3-\frac{3m}{2}，3-m]$…（8分）
因为对于任意${x_1}，∈[{0，\frac{π}{4}}]$，都存在${x_2}∈[{0，\frac{π}{4}}]$，使得f（x₁）=g（x₂）成立
∴$\left\{\begin{array}{l}3-\frac{3m}{2}≤1\\ 3-m≥2\end{array}\right.$，
∴m∈Φ…（12分）

点评 本题考查两角和与差的三角函数，正弦函数的有界性以及函数恒成立，考查转化思想以及计算能力．