Question

13．已知实数x，y满足方程2x+y+5=0，那么$\sqrt{{x^2}+{y^2}-4x-2y+5}$的最小值为（　　）

• A． 2$\sqrt{10}$
• B． $\sqrt{10}$
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由$\sqrt{{x^2}+{y^2}-4x-2y+5}$=$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}}$，可知其几何意义为直线2x+y+5=0上的动点到定点A（2，1）的距离，再由点到直线的距离公式求解．

解答 解：$\sqrt{{x^2}+{y^2}-4x-2y+5}$=$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}}$，
其几何意义为直线2x+y+5=0上的动点到定点A（2，1）的距离，如图：

∴$\sqrt{{x^2}+{y^2}-4x-2y+5}$的最小值为A到直线2x+y+5=0的距离，
等于$\frac{|2×2+1×1+5|}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$．
故选：C．

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，考查数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．