Question

19．已知曲线Γ上的点到F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距离之和为定值4．
（1）求曲线Γ的方程；
（2）过Q（4，0）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，若以AB为直径的圆恰好过椭圆的右焦点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）依题意：设P曲线Γ上的任意一点，利用椭圆的定义，判断P的轨迹是以F₁，F₂为焦点，长轴长2a=4的椭圆．求出a，b，即可得到椭圆的方程．
（2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式，结合以AB为直径的圆恰好过椭圆的右焦点，求解m的值，即可求解直线方程．

解答 解：（1）依题意：设P曲线Γ上的任意一点，则|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2，
所以P的轨迹是以F₁，F₂为焦点，长轴长2a=4的椭圆．
$a=2，c=1，b=\sqrt{3}$，则曲线方程：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）  
（2）过Q（4，0）的直线l设为：x=my+4，
联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ x=my+4\end{array}\right.$，得∴（3m²+4）y²+24my+36=0，
所以$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\{y_1}+{y_2}=\frac{-24m}{{3{m^2}+4}}\\{y_1}{y_2}=\frac{36}{{3{m^2}+4}}\end{array}\right.$…（6分），
以AB为直径的圆恰好过椭圆的右焦点，F（1，0）．
A，B坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∴$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}=0$…（7分）
即$（{x_1}-1）（{x_2}-1）+{y_1}{y_2}\;=（{m^2}+1）{y_1}{y_2}+3m（{y_1}+{y_2}）+9=0$…（8分）
∴$\frac{{36（{m^2}+1）}}{{3{m^2}+4}}+\frac{{-72{m^2}}}{{3{m^2}+4}}+9=0$…（9分）   解得：$m=±2\sqrt{2}$…（10分）
此时△=（24m）²-4×36（3m²+4）=144m²-576=576＞0…（11分）
所以所求的直线方程为：$x±2\sqrt{2}y-4=0$…（12分）

点评 本题考查轨迹方程的求法，椭圆的定义的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及设而不去方法的应用，考查分析问题解决问题的能力．