Question

【题目】若数列,满足,则称为数列的“偏差数列”.

（1）若为常数列,且为的“偏差数列”,试判断是否一定为等差数列,并说明理由;

（2）若无穷数列是各项均为正整数的等比数列,且,为数列的“偏差数列”,求的值;

（3）设,为数列的“偏差数列”,,且若对任意恒成立,求实数的最小值.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析（2）或（3）

【解析】

（1）设,根据,可得,满足为数列的“偏差数列,但此时不是等差数列,故可得出不一定是等差数列;

（2）设数列的公比为,解方程可得首项和公比,由等比数列的通项公式和求和公式,计算可得所求值;

（3）由累加法可得数列的通项公式.讨论为奇数或偶数,求得极限,由不等式恒成立思想可得的最小值.

（1）设 ,根据

即:得:

满足为数列的“偏差数列,

但此时不是等差数列,故可得出不一定是等差数列.

（2）设数列的公比为,则由题意,,均为正整数

因为，所以

解得或

故或

①当时,,

②当时,,

综上所述:的值为:或

（3）且

得:

故有:

累加得:

又所以

当为奇数时,单调递增,,，

当为偶数时,单调递减,，，

从而,所以

所以的最小值为.