Question

15．在数列{a_n}中，a₂=$\frac{2}{3}$．
（1）若数列{a_n}满足2a_n-a_n+1=0，求a_n；
（2）若a₄=$\frac{4}{7}$，且数列{（2n-1）a_n+1}是等差数列，求数列{$\frac{n}{{a}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}满足2a_n-a_n-1=0，a₂=$\frac{2}{3}$．可得a_n≠0，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2，利用等比数列的通项公式即可得出a_n．
（2）数列{（2n-1）a_n+1}是等差数列，设公差为d，由a₄=$\frac{4}{7}$，a₂=$\frac{2}{3}$．利用等差数列的通项公式可得d．进而可得a_n．再利用等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足2a_n-a_n-1=0，a₂=$\frac{2}{3}$．
∴a_n≠0，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2，∴a₁=$\frac{1}{3}$．
∴数列{a_n}是等比数列，公比为2，首项为$\frac{1}{3}$．
∴a_n=$\frac{1}{3}×{2}^{n-1}$．
（2）数列{（2n-1）a_n+1}是等差数列，设公差为d，∵a₄=$\frac{4}{7}$，a₂=$\frac{2}{3}$．
∴$7×\frac{4}{7}$+1=$3×\frac{2}{3}$+1+2d，解得d=1．
∴（2n-1）a_n+1=3×$\frac{2}{3}$+1+（n-2）×1，解得a_n=$\frac{n}{2n-1}$．
∴$\frac{n}{{a}_{n}}$=2n-1．
∴数列{$\frac{n}{{a}_{n}}$}的前n项和T_n=1+3+…+（2n-1）
=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．