Question

3．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosϕ\\ y=sinϕ\end{array}$（ϕ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）设直线l的极坐标方程是$2ρsin（θ+\frac{π}{3}）=3\sqrt{3}$，射线$\sqrt{3}$x-y=0（x≥0）与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

Answer 1

分析 （1）因为$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosϕ\\ y=sinϕ\end{array}\right.$，利用平方关系消参得：（x-1）²+y²=1，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得圆C的极坐标方程．
（2）射线$\sqrt{3}x-y=0（x≥0）$的极坐标方程是$θ=\frac{π}{3}$，设点P（ρ₁，θ₁），则：$\left\{\begin{array}{l}{ρ_1}=2cos{θ_1}\\{θ_1}=\frac{π}{3}\end{array}\right.$，解得ρ₁，θ₁．设点Q（ρ₂，θ₂），则：$\left\{\begin{array}{l}2{ρ_2}（sin{θ_2}+\frac{π}{3}）=3\sqrt{3}\\{θ_2}=\frac{π}{3}\end{array}\right.$，解得ρ₂，θ₂，根据θ₁=θ₂，可得|PQ|=|ρ₁-ρ₂|．

解答 解：（1）因为$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosϕ\\ y=sinϕ\end{array}\right.$，消参得：（x-1）²+y²=1，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得（ρcosθ-1）²+（ρsinθ）²=1，所以圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ；
（2）射线$\sqrt{3}x-y=0（x≥0）$的极坐标方程是$θ=\frac{π}{3}$，设点P（ρ₁，θ₁），则有：$\left\{\begin{array}{l}{ρ_1}=2cos{θ_1}\\{θ_1}=\frac{π}{3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{ρ_1}=1\\{θ_1}=\frac{π}{3}\end{array}\right.$，
设点Q（ρ₂，θ₂），则：$\left\{\begin{array}{l}2{ρ_2}（sin{θ_2}+\frac{π}{3}）=3\sqrt{3}\\{θ_2}=\frac{π}{3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{ρ_2}=3\\{θ_2}=\frac{π}{3}\end{array}\right.$，
由于θ₁=θ₂，所以|PQ|=|ρ₁-ρ₂|=2，所以线段PQ的长为2．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程、曲线的交点、极坐标方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．